プログラムで指数が小数のべき乗を計算するときの話

2021年4月16日Programing,数学

プログラム乗でべき乗の計算をすることは多々あると思います。
整数のべき乗は簡単です。
では、小数のべき乗はどう考えるべきでしょうか？

例えば $2^{1.5}$ みたいなやつです。

使用する言語によっては、これをサポートする関数が用意されてたりします。DelphiとかはPower関数でできますね。
ですが、DelphiもStandard版などにはMathユニットが付属していないそうです。

こういった関数が用意されていない場合、どうすれば計算できるのでしょうか。

Contents

1. 指数が小数のべき乗を計算する
2. この方法にも注意点が・・・

指数が小数のべき乗を計算する

答えから書きます。次の式を使うだけです。
$\displaystyle x^y = e^{ln(x)*y}$
式の意味としては簡単です。 $x^y$ を変形させただけです。
指数法則で上式の右辺を変えます。
$\displaystyle e^{ln(x)*y} = (e^{ln(x)})^y$
ここで
$\displaystyle e^{ln(x)} = x$ なので
$\displaystyle (e^{ln(x)})^y = x^y$
と、これだけです。

これを使えば関数が用意されていなくても*1、指数が小数のべき乗は計算できます。

できるんですが。。。

この方法にも注意点が・・・

この方法は、真数であるx>0の場合は成立しません。
言語にもよりますが、Delphiの場合だとNanが返ります。

この理由は、 $\displaystyle ln(x)$ が関係しています。
まず、 $\displaystyle y=ln(x)$ のとき $\displaystyle x=e^y$ です。
なので、 $\displaystyle x=e^y$ で $\displaystyle x>0、x=0、x<0$ の場合を考えてみます。
$\displaystyle x>0$ の場合、 $\displaystyle y>0$ です。必ず正の値をとります。

次に $\displaystyle x=0$ の場合、 $\displaystyle e^x=0$ を満たす $\displaystyle x$ を考えなければなりませんが、これは存在しません。 $\displaystyle e^x=0$ を満たすには $\displaystyle x$ ではなく $\displaystyle e=0$ とするしかないのですが、ネイピア数として定義されたeを0にはできません。 $\displaystyle ln(0)$ を考えても、これは $\displaystyle -\infty$ に発散してしまいます。よって $\displaystyle x=0$ は計算不可能です。

最後に、 $\displaystyle x<0$ の場合です。例えば $\displaystyle x=-1$ として考えてみると $\displaystyle -1=e^{y}$ となりますが、これを満たすyは実数には存在しません。複素数まで拡張すれば存在しますが、プログラム上では非数(Nan)となってしまいます。