最小二乗法の考え方と導出

2021年4月19日Programing,数学

データ配列として $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)...(x_n,y_n)$ というデータがあったとして、
これらのデータを1次関数の式 $\displaystyle y=ax+b$ という形で表現したいとしたときの傾き $\displaystyle a$ と切片 $\displaystyle b$ はどう求めればいいのだろうか。

Contents

1. 最小二乗法の考え方
2. 導出してみる
3. 余談

最小二乗法の考え方

$\displaystyle y=ax+b$ と仮定したときの $\displaystyle x_i$ での値は $\displaystyle y=ax_i+b$ であるが、実際の値 $\displaystyle y_i$ とは幾分かの誤差が生じるはず。
その差は $\displaystyle y_i-ax_i-b$ と表現できる。この差はマイナス方向にもプラス方向にもズレが起きうると考え、どれだけの量がずれたかを調べるには2乗してやればいい。
つまり、 $\displaystyle (y_i-ax_i-b)^2$ と表現できる。

$n$ 個のデータに対してズレの評価をすべて行い、総和を求める。
$\displaystyle ε(a,b)=\sum_{i=0}^n (y_i-ax_i-b)^2$
このときの $ε(a,b)$ が最小となる $a,b$ を求めることができれば、もっとも近い１次関数の式に近似できる。
というのが最小二乗法の考え方。

導出してみる

ε(a,b)は２変数の２次関数となっている。
２次関数の最小値を求める方法は、微分した関数の値が0になる点を求めればいい。
例えば、 $\displaystyle y=x^2$ の最小値は $y$ を微分して $\displaystyle y'=2x$ とし、 $y'=0$ となる $x$ を求めればよい。つまり $x=0$ の時である。
今回扱う関数は変数に $a,b$ をもつ２変数関数であるため、それぞれ $a,b$ で偏微分する必要がある。

まず $a$ について微分する。
$\displaystyle \frac{\partial ε(a,b)}{\partial a}=-2\sum_{i=0}^n x_i(y_i-ax_i-b)$
つぎに $b$ について微分する。
$\displaystyle \frac{\partial ε(a,b)}{\partial b}=-2\sum_{i=0}^n (y_i-ax_i-b)$
これらが0になるように連立方程式を解けばいい。つまり
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -2\sum_{i=0}^n x_i(y_i-ax_i-b)=0\\ \displaystyle -2\sum_{i=0}^n (y_i-ax_i-b)=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
上式をそれぞれ変形する。
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{i=0}^n ({x_i}{y_i}+ax_i^2+bx_i)=0\\ \displaystyle \sum_{i=0}^n (y_i+ax_i+b)=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a\sum_{i=0}^n x_i^2+b\sum_{i=0}^n x_i = \sum_{i=0}^n x_iy_i\\ \displaystyle a\sum_{i=0}^n x_i +bn=\sum_{i=0}^ny_i \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
ここで2式の両辺をnで割る。
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^n x_i^2}{n}+b\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^n x_i}{n} = \frac{\displaystyle\sum_{i=0}^n x_iy_i}{n}\\ \displaystyle a\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^n x_i}{n} +\frac{bn}{n}=\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i}{n} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
ここで、 $\displaystyle \sum_{i=0}^n$ をnで割るということは、平均を取る行為に等しいので
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a\bar{x^2}+b\bar{x} = \bar{xy}\\ a\bar{x}+b=\bar{y} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
この2式で連立方程式をとき、それぞれ $a,b$ を求めると
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a\bar{x^2}+b\bar{x} = \bar{xy}\\ b=-a\bar{x}+\bar{y} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
代入して
$\displaystyle a\bar{x^2}+(-a\bar{x}+\bar{y})\bar{x}=\bar{xy}$
$\displaystyle a\bar{x^2}-a\bar{x}^2+\bar{y}\bar{x}=\bar{xy}$
aについて変形する。
$\displaystyle a(\bar{x^2}-\bar{x}^2)=\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}$
$\displaystyle a=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2}$

よって、近似直線 $y=ax+b$ としたとき、 $y_n=ax_n+b$ と最も剥離が少ない $a,b$ は
$\displaystyle a=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2}$
$\displaystyle b=-a\bar{x}+\bar{y}$
で求めることができる。

余談

さっき導出した式をみてみる。
$\displaystyle a=\frac{\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\bar{x^2}-\bar{x}^2}$

これの右辺に注目すると、分子は $x,y$ の共分散で分母は $x$ の標本分散となっている。
$x_1,x_2,x_3...x_n$ というデータの標本分散 $s^2$ は
$\displaystyle s^2=\frac{\displaystyle \sum_{i=0}^n (x_i-\bar{x})^2}{n}$
$\displaystyle s^2 =\bar{x^2}-\bar{x}^2$

$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)...(x_n,y_n)$ というデータの共分散 $s_{xy}$ は
$\displaystyle s_{xy}=\frac{\displaystyle \sum_{i=0}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n}$
$\displaystyle s_{xy}=\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}$
つまり、共分散を分散で割ることでも傾きは求めることができる。