三角関数のよく使う公式

数学

公式まとめ

2倍角の公式

\displaystyle
\begin{split}
\sin2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\
\cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha-1\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
\tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\end{split}
上式の変形から
\displaystyle
\begin{split}
2\cos^2\alpha-1&=1-2\sin^2\alpha\\
2\sin^2\alpha&=2\cos^2\alpha-2\\
\sin^2\alpha&=\cos^2\alpha-1\\
&=(\cos\alpha+1)(\cos\alpha-1)\\
2\cos^2\alpha&=2-2\sin^2\alpha\\
\cos^2\alpha&=1-\sin^2\alpha\\
&=(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)
\end{split}

半角の公式

\displaystyle \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}
\displaystyle \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}
\displaystyle \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}
\displaystyle \begin{split}\\
\tan\frac{\alpha}{2}&=&\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\\
&=&\frac{\sin\alpha}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} ・・・倍角の公式より\\
&=&\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ・・・半角の公式より\\
\end{split}

数学

Posted by tsubakurame