三角関数のよく使う公式

2021年6月15日数学

公式まとめ

Contents

1. 加法定理
2. 2倍角の公式
3. 半角の公式
4. オイラーの公式

加法定理

$\displaystyle \begin{split} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\mp\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\sin\beta\mp\sin\alpha\cos\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \end{split}$

2倍角の公式

$\displaystyle \begin{split} \sin2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\ \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha-1\\ &=1-2\sin^2\alpha\\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{split}$
上式の変形から
$\displaystyle \begin{split} 2\cos^2\alpha-1&=1-2\sin^2\alpha\\ 2\sin^2\alpha&=2\cos^2\alpha-2\\ \sin^2\alpha&=\cos^2\alpha-1\\ &=(\cos\alpha+1)(\cos\alpha-1)\\ 2\cos^2\alpha&=2-2\sin^2\alpha\\ \cos^2\alpha&=1-\sin^2\alpha\\ &=(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha) \end{split}$

半角の公式

$\displaystyle \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$
$\displaystyle \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$
$\displaystyle \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$
$\displaystyle \begin{split}\\ \tan\frac{\alpha}{2}&=&\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\\ &=&\frac{\sin\alpha}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}　・・・倍角の公式より\\ &=&\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}　・・・半角の公式より\\ \end{split}$